Answers to Selected Exercises in Chapter 8

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Section 8.2 Section 8.3 Section 8.4 Section 8.5 Section 8.6 Section 8.7 Section 8.8

Section 8.1

5. T2( x) = 4( x-1) +6( x-1) 2

7. T3( x) = x+x3/3

9. T4( x) = ( x-2) -( x-2) 2/2+(x-2) 3/3-( x-2) 4/4

11. T3( x) = Ö2/2-Ö2/2( x-p/4) -Ö2/4( x-p/4) 2 + Ö2/12( x-p/4) 3

13. T2( x) = 1-x2/2

15. T2( x) = 2+6x+9x2

17. T2( x) = 3+3x+3x2/2

19. T2( x) = 1.5+2.5x+1.75x2

21. T2( x) = 1+x2/2

23. T2( x) = 3+2x-3x2/2

25. T2( x) = 1+x+x2/2
 
 

Section 8.2

 
5.  Tn( x) 
= 
e+e( x-1) + e
2		 (x-1) 2+¼+ e
n!		 ( x-1) n
7.  Tn( x) 
= 
-( x-1) - 1
2		 (x-1) 2- 1
3		 ( x-1) 3-¼- 1
n		 (x-1) n
9.  Tn( x) 
= 
-1-( x+1) -( x+1)2-( x+1) 3-¼-( x+1) n
11.  Tn( x) 
= 
1+2( x+1) +3( x+1)2+¼+( n+1) ( x+1) n
13.  Tn( x) 
= 
x+ x3
3!		 + x5
5!		 +¼+ x2n+1
( 2n+1) !
15.  Tn( x) 
= 
1- 1
2		 ( x-2p) 2+ 1
24		 ( x-2p) 4+¼+ ( -1) n
( 2n) !		 ( x-2p) 2n
17.  Tn( x) 
= 
1
Ö2		 - 1
2!Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 2
 		 +¼+ ( -1) n
( 2n) !Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 2n
 
- 1
Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 + 1
3!Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 3
 		 +¼+ ( -1) n
( 2n+1) !Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 2n+1
 
19.  Tn( x) 
= 
x2- 1
2		 x4+ 1
3		 x6- 1
4		 x8+¼+ ( -1) n+1
n		 x2n
21.  Tn( x) 
= 
1-x2+ x4
2		 - x6
3!		 + x8
4!		 +¼+ ( -1) n
n!		 x2n

23. not good on [ 0,3]

25. not good on [ -3,0] or on [ 2,3]

27. not good on [ -3,-2] or on [ 0,3]
 
 
 


Section 8.3

5. f''( x) = 12x2:
| f( x) -L1( x) | £ (1.5-0.5)  ó
õ		 1.5

0.5

 | 12x2| dx = 13

7.  f"( x) = ( -2x-5/3) /9

| f( x) -L1( x) | £ (1.5-0.5)  ó
õ		 1.5

0.5

 ê
ê
ê		 -2
9		 x-5/3 ê
ê
ê		 dx = 0.2747

9. f"( x) = -6x-4

| f( x) -L1( x) | £ (1.5-0.5)  ó
õ		 1.5

0.5

 | -6x-4| dx = 15.47

11. f"( x) = -x-2

| f( x) -L1( x) | £ (1.1-0.9)  ó
õ		 1.1

0.9

 | -x-2| dx = 0.0404

13. f"( x) = sinh( x)

| f( x) -L1( x) | £ (0.01-0.01)  ó
õ		 0.01

-0.01

 | sinh( x) |dx = 0.000002

15. f"( x) = -2x( x2+1) -2

| f( x) -L1( x) | £ (0.01-0.01)  ó
õ		 0.01

-0.01

 | -2x( x2+1)-2| dx = 0.000004

17.??? = 28e2/8! = 0.04691

19. ??? = ( 0.1) 10/( 10!) = 2.75573×10-17

21. ??? = ( p/6) 10/( 10!) = 8.1512×10-9

23. f( x) = x5, f( 4) ( x) = 120x:

| x5-T3( x) | £ | 1-1| 3
3!		 ó
õ		 1

-1

 | 120x| dx = 160

25. f( x) = x1/2, f( 3) ( x) = 3x-5/2/8:

| Öx-T2( x) | £ | 3-1| 2
2!		 ó
õ		 3

1

 | 3x-5/2/8| dx = 0.4038

27. f( x) = tan-1( x) , f( 3)( x) = 2( 3x2-1) /( x2+1) 3

| tan-1( x) -T2( x) | £ | 1-0| 2
2!		 ó
õ		 1

0

 ê
ê
ê		 2 3x2-1
(x2+1) 3		 ê
ê
ê		 dx = 0.3995

 


Section 8.4

 
5.      e-x
= 
1-x+ 1
2		 x2- 1
6		 x3+ 1
24		 x4-¼+ ( -1) n
n!		 xn+¼
7.  x
1-x
= 
x+x2+x3+¼+xn+1+¼
9.  cos( Öx) 
= 
1- x
2!		 + x2
4!		 -¼+ ( -1) n
( 2n) !		 xn+¼
11.  1-cos( x)
x2
= 
1
2		 - 1
24		 x2+ 1
720		 x4-¼+ ( -1) n
( 2n) !		 x2n-2+¼
13.  cos2( x) 
= 
1- ( 2x) 2
2·2!		 + ( 2x) 4
2·4!		 -¼+ ( -1)n( 2x) 2n
2·( 2n) !		 +¼
15.  sinh( x) 
= 
1+ x3
3!		 + x5
5!		 +¼+ x2n+1
( 2n+1) !		 +¼
17.  ln( 1+x) 
= 
x- 1
2		 x2+ 1
3		 x3- 1
4		 x4+ 1
5		 x5-¼
19.  ó
õ		 x

0

 cos( Öt) dt
= 
x- x2
2·2!		 + x3
3·4!		 -¼+ ( -1) n
(2n) !		 xn+1
n+1		 +¼
21.  ln( x2+1) 
= 
x2- 1
2		 x4+ 1
3		 x6- 1
4		 x8+ 1
5		 x10-¼
23.  1+x
1-x
= 
1+2x+2x2+2x3+2x4+2x5+¼
25.  ( x+1) ex
= 
1+2x+ 3
2		 x2+ 4
3!		 x3+¼+ n+1
n!		 xn+¼

 
 


Section 8.5

( listed below are the open intervals of convergence)

5. (-1,1)

7. (-¥,¥)

9. (-8,12)

11. (-¥,¥)

13. (-1,1)

15. (-1,1)

17. (-3.5,-2.5)

19. (1.5, 4.5)

21. (p-0.5,p+0.5)
 
 


Section 8.6

 
5. e+e( x-1) + e
2		 ( x-1) 2+¼+ e
n!		 ( x-1) n+¼,    ( -¥,¥) 
7. -( x-1) - 1
2		 ( x-1) 2- 1
3		 ( x-1) 3-¼- 1
n		 ( x-1) n+¼,    (0,2) 
9. -1-( x+1) -( x+1) 2-( x+1)3-¼-( x+1) n+¼,    (-2,0) 
11. 1+2( x+1) +3( x+1) 2+¼+(n+1) ( x+1) n+¼,    (-2,0) 
13. x+ x3
3!		 + x5
5!		 +¼+ x2n+1
( 2n+1) !		 +¼,    (-¥,¥) 
15.1- 1
2		 ( x-2p) 2+ 1
24		 ( x-2p) 4+¼+ ( -1) n
( 2n) !		 (x-2p) 2n+¼,(-¥,¥) 
17.  1
Ö2		 - 1
2!Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 2
 		 +¼+ ( -1) n
( 2n) !Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 2n
 		 +¼
- 1
Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 + 1
3!Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 3
 		 +¼+ ( -1) n
( 2n+1) !Ö2		 æ
ç
è		 x- p
4		 ö
÷
ø		 2n+1
 		 +¼
(-¥,¥)
19.  1
3		 - 1
9		 ( x-3) + 1
27		 ( x-3) 2+¼+ ( -1) n( x-3)n
3n+1		 +¼,    (0,6) 
21.  ln4+ 1
4		 ( x-4) - 1
32		 ( x-4)2+ 1
192		 ( x-4) 3-¼,    ( 0,8) 
23.    e2+( 2e2) ( x-1) + 4e2
2!		 ( x-1) 2+ 8e2
3!		 ( x-1) 3+¼,    ( -¥,¥) 
25.  1
9		 - 2
27		 ( x-3) + 1
27		 (x-3) 2- 4
243		 ( x-3) 3+¼,    (0,6) 
27.  3
4		 + 5
4		 ( x-ln2) + 3
8		 ( x-ln2) 2+ 5
24		 ( x-ln2) 3+¼,    ( -¥,¥) 

 
 
 
 
 
 


Section 8.7

 

 

5.  y( x) 
= 
3-3x+ 3
2!		 x2- 3
3!		 x3+¼+ 3( -1) n
n!		 xn+¼
7.  y( x) 
= 
2+6x+ 12
2		 x2+ 36
3!		 x3+ 96
4!		 x4+¼
9.  y( x) 
= 
1-x+ 2x2
2!		 - 2x3
3!		 + 2
4!		 x4+¼
11.  y( x) 
= 
2+ 2
3		 x3+ 2
3·2!		 x6+ 2
3·3!		 x9+¼
13.  y( x) 
= 
2-x+ 2
3		 x3- 1
4		 x4+¼
15.  y( x) 
= 
1+x- 1
3		 x3- 1
12		 x4+ 1
20		 x5+¼

 
 
 
 



 

Section 8.8

 
5.  y( x) 
= 
1- x2
2		 + x4
4!		 -¼+ ( -1) nx2n
( 2n) !		 +¼
7.  y( x) 
= 
1+ 11
2		 x2+ 33
8		 x4+¼
9.  y( x) 
= 
1- x2
2!		 + x3
3!		 + x4
4!		 - x5
5!		 +¼
11.  y( x) 
= 
1- x2
2		 - 3x4
4!		 -¼
13.  y( x) 
= 
1- 2
2!		 x2- 4
4!		 x4-¼
15.  y( x) 
= 
1-3x2